Théorème de Thalès

Théorème

On considère les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{M}\) et \(\text{N}\) du plan.
Si les droites \((\text{BM})\) et \((\text{CN})\) sont sécantes en \(\text{A}\) et si les droites \((\text{BC})\) et \((\text{MN})\) sont parallèles,
alors : \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}\).

Dans chacune des configurations, on a :

• \(\text{(BC)} //\text{(MN)}\)
  
• les droites \(\text{(BM)}\) et \(\text{(CN)}\) sont sécantes en \(\text{A}\).
  

D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}\).

Remarques

On suppose que deux droites \((\text{BM})\) et \((\text{CN})\) sont sécantes en un point \(\text{A}\) et que les droites \(\)\((\text{BC})\) et \((\text{MN})\) sont parallèles.

• D'après le théorème de Thalès, on obtient aussi : \(\dfrac{\color{red}{ \text{AM}}}{\color{blue}{ \text{AB}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{AN}}}{\color{blue}{\text{AC}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{MN}}}{\color{blue}{\text{BC}}}\).
  
• D'après le théorème de Thalès, le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
  

\(\qquad \qquad\begin{array}{|c|c|c|}\hline\color{red}{\text{AM}} & \color{red}{\text{AN}} & \color{red}{\text{MN}} \\\hline\color{blue}{\text{AB}} & \color{blue}{\text{AC}} & \color{blue}{\text{BC}} \\\hline\end{array}\\\)

• D'après le théorème de Thalès, les triangles \(\color {red}{\text{AMN}}\) et \(\color {blue}{\text{ABC}}\) sont semblables.
  
• D'après le théorème de Thalès, le triangle \(\color {red}{\text{AMN}}\) est une réduction ou un agrandissement du triangle \(\color {blue}{\text{ABC}}\).